Pas d'angoisse, j'ai cafouillé dans l'énoncé de ce problème, (très intéressant), mais, formulé comme ça, une solution existe, au niveau des Mathématiques Supérieures, mais ne présente aucun intérêt.
Je vais donc le reposer de manière plus simple, n'importe quelle Jolinnette sera capable de le résoudre. Promis !
Prends patience, j'ai des petits problèmes informatiques perso à résoudre avant de replonger dans ce bain-là.
Faut que je re mette la main sur un compas et un rapporteur. J'ignore même si on en a encore en magasin Peut-être dans un des cartons des garçons pas déballés depuis le déménagement....
Héra
"La critique est aisée mais l'art est difficile"
Grâce à ton schéma plus besoin de chercher un compas, l'équerre suffira
Selon ton énoncé les deux sentiers (cercles) sont sécants en 2 pts Mairie (M) et piscine (P)
On trace une droite perpendiculaire à PM Passant par E (école) qui recoupe le prolongement de la rue de la culture MA
Ce qui donne un triangle EMA .
Selon les propriétés des triangles, la médiane MP étant perpendiculaire à la base EA c'est aussi la médiatrice et la bissectrice de l'angle EMA
On peut donc en conclure que le triangle EMA est un triangle isocèle
et donc que les angles EMP et PMA sont égaux
et donc que l'angle formé par la rue des écoles et la rue de la piscine est égal à 50 °
Sur ce, je file à la piscine pour refroidir mes neurones en ébullition
Héra
"La critique est aisée mais l'art est difficile"
Ben vi ! j'ai pas de compas mais si j'en avais un je poserais la pointe en M et le crayon en E pour tracer un cercle et trouver l'interception avec la rue de la MJC, le point A. Et puis tracer AE avec la règle (çà j'ai )
Héra
"La critique est aisée mais l'art est difficile"
A mon grand regret, je suis obligé de reprendre mes compliments.
Démonstration : Reprenons la figure avec le tracé AE.
Soit B le point d’intersection de MP et AE.
La seule propriété certaine de MB est qu’elle est perpendiculaire à AE, mais rien n’indique que AB=BE.
Les triangles ABM et EBM ont un angle égal, et un côté commun, ce qui est insuffisant pour les déclarer égaux.
NOTE : Le résultat final de 50° n’est valable que si la piscine est située sur la rue des sports existante actuellement, caduc en cas contraire.
Déplaçons la piscine de part ou d’autre de la rue existante, le tracé des deux chemins circulaires est toujours possible, mais l’angle demandé sera différent de 50°.
Il sera beaucoup plus compliqué à calculer.
Avec le tracé actuel et le même raisonnement, il faut trouver soit un angle, soit un côté supplémentaire identique dans les triangles ABM et EBM.
Pas d'accord Papy. La condition médiane et médiatrice qui se confondent suffit à prouver que le triangle EMA est isocèle
Mais c'est pas important ce qui compte c'est que mes crèmes renversées au caramel soient refroidies pour midi
Héra
"La critique est aisée mais l'art est difficile"
J'espère que tes crèmes renversées sont refroidies, j'ai horreur du gâchis.
Pour la médiane, je ne discute pas, mais pour la médiatrice, là c'est une autre limonade. prouve-moi que ta médiane est bien médiatrice, alors, tu gagnes.
en cas de contestation, je porte ça devant le tribunal constitutionnel, c'est à la mode en ce moment.
Non mais !
Pas de prob, j'ai une solution strictement géométrique, mais un peu complexe à dessiner, et, en ce moment, je suis à la limite de l'overdose de clavier-souris.
Mais patience ! Ceci dit, le piège était diabolique, je m'y suis laissé prendre dans un premier temps.
En fait, ce p... de triangle n'est isocèle que dans ce tracé précis, je le mets au congel dans les Bermudes, on s'en fera un dessert dès que possible.
Coucou, Joline !
Faut que je re mette la main sur un compas et un rapporteur. J'ignore même si on en a encore en magasin 
Peut-être dans un des cartons des garçons pas déballés depuis le déménagement....
Je n'ai même plus le niveau BEPC !!
FÉLICITATIONS !!!
Réponse parfaite.
Pour la médiane, je ne discute pas, mais pour la médiatrice, là c'est une autre limonade.
prouve-moi que ta médiane est bien médiatrice, alors, tu gagnes.
en cas de contestation, je porte ça devant le tribunal constitutionnel, c'est à la mode en ce moment.
Ton schéma m'a fait prendre pour acquis que le triangle était isocèle.
Pour le moment 
Mais patience ! Ceci dit, le piège était diabolique, je m'y suis laissé prendre dans un premier temps.